①ガリレオのパラドックス 自然数全体は平方数以外の数を含むが、自然数ｎを２乗すれば必ず平方数になる。 従って、平方数は自然数全体と同じだけ存在する。 ②カントールの対角線論法 まず、０～１実数の集合に、 自然数１～∞全てを使って、各実数に番号を付ける。 １番目０．４２８５… ２番目０．７１０２… ３番目０．２０８９… ４番目０．３９５８… … ∞番目０．３０６１… 次ぎに、各ｎ番目実数の小数点以下第ｎ桁目を並べて、 ０→１，１→２，２→３，…，９→０と数字を１つずつ置き換えると ｍ番目０．５２９９…と言う実数ができる。 ｍ番目の実数は、１～∞番目の実数とは小数点以下第ｎ桁目が異なるので １～∞番目の実数ではないことがわかる。 従って、 １～∞番目の番号は自然数１～∞全てを使っているので、実数は自然数より多い。 ③解析接続 ゼータ関数ζ(s)を級数で表すと ζ(s)=1 +1/(2^s) +1/(3^s) +1/(4^s) +… s=-1を代入して ζ(-1)=1+2+3+4+… ゼータ関数ζ(s)解析接続で表すと ζ(s)=2^(s)×π^(s-1)×sin(πs/2)×Γ(1-s)×ζ(1-s) s=-1を代入して ζ(-1)=2^(-1)×π^(-2)×sin(-π/2)×(1!)×ζ(2) ζ(-1)=(1/2)(1/(π^2))(-1)(1)((π^2)/6) ζ(-1)=-1/12 ∴ ζ(-1)=1+2+3+4+… ζ(-1)=-1/12 ④モンティ・ホール問題の解法 司会者モンティは、ハズレの扉を全て知っている。 仮に扉の数は100枚だったら、ノーヒントで最初に1/100の確率で当たるかも…と選んだ扉よりも、モンティが98枚のハズレの扉を開いた後、最後に残されたもう1枚の扉に選び直した方が当たる確率は高い。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C ⑤カリーのパラドックス 例えば、下記の論法の○に好きな答えを入れるだけで、数理論理学的な1+1の答えを無制限に作れたりします。 【論法１】 まず、命題aを「aが真ならば1+1=○である」と定義する。 次ぎに、aが真であることを背理法により示す。 aが真でないと仮定する。 一般に、命題Xが成り立たないことが確定している場合、 「XならばYである」という命題は対偶をとれば真である。 背理法の仮定より「aは真」でないので、 「aが真なら、1+1=○である」は真である。 しかし「aが真なら、1+1=○である」はa自身に等しいので、 aが真であることになり、矛盾する。 以上よりaは真である。 今aは「aが真なら、1+1=○である」と等しかったので、 「aが真なら、1+1=○である」も真である。 aは真だったので、 「aが真なら、1+1=○である」より、「1+1=○」は真である。 【論法２】 命題aを「aが真ならば1+1=○」とする。 aが真→(aが真→1+1=○) aが真→aが真 ∴aが真なので「aが真ならば1+1=○」は真より1+1=○である。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9