二進法の仕組み

別に数学が得意なわけでもないし理系ですらないけど、コンピューターに頼った生活を送っている以上、理解はしておいた方がいいよね、と思う「二進法」。

聞けば、カミさんもよくわかってない状態だったので、ちょっと図にしてみました。
ホラ、これならわかるっしょ？

ほうほう、だから「6」なら「110」で、「7」が「111」、次に「8」だと位が上がって「1000」ね。

分かった気になるよね～。うんうんわかる。

じゃ、「1011001」は？

ん？

これがもう、一つの“壁”ですよね。桁数というより逆算ができない。
まぁ、そんな時は急がば回れです。

60進法ならわかるんじゃない？

みんな馴染みのある「60進法」で考えてみましょう。幼児教育でもやる子もいるし、小学校で習いますよね。さすがにみんな理解してるはず。

じゃ、「3846秒」って、何時間何分何秒？

10進法で「秒」で表された秒数を60進法の時分秒になおすのは面倒だけど、やり方はわかるはず。
60進法の仕組みは、「60進んだら位が一つ上がる」です。だから、60で割っていけばわかるわけです。

3846÷60（分=つまり1時間）＝64分と、あまりが「6」秒
「64分」を「60（秒）」で割ると、「1」時間と、あまりが「4」分

つまり、「1時間4分6秒」となります。
この、下から逆のL字で登っていく「型」を覚えておきましょう。

では、逆算はどうする？

たとえば、3時間12分46秒は、何秒？
つまり、10進法の世界の数字に変換するには、こうなります。

「時」には、3600を掛ける　つまり「時」は、3600秒の位
「分」には、60を掛ける　つまり「分」は、60秒の位
「秒」はそのまま　「秒」なので1秒の位

それぞれ位ごとに秒に換算したものを合計するのが解法。

時間の場合、さらにちょっと厄介なのが「日」は24進法で、「年」は365.25進法なので厄介です。
しかも、正確には1年は365.24219日なので、グレゴリオ暦ではうるう年の例外として、西暦年号が100で割り切れて400で割り切れない年を、「うるう年ナシ！」として、365.2425日に換算しています。
実際にはこれでも1000年で1日ぐらいズレるらしいけど、修正方法は決まってないんだそうです。

時間の場合は、1日は「86400秒」とか、「1440分」とか、あるいは、30日は「720時間」、31日は「744時間」を覚えちゃうのが便利です。ICTの仕事に関わる人にとっては、86400秒とか3600秒とかなじみ深い秒数ですよね。

どんどん、脇道にそれていく・・・

もしも「4進法」だったら？

では、話を戻します。
特に人生の間に登場機会はないかもしれないけど、もしも「4進法」で考えなければならない時代になったらどうでしょう？

「4進んだら位があがる」のが4進法。

時間の例で試したように10進法の数値を4進法にするにはできますよね。やり方は同じで「4で割っていく」ことになります。

たとえば「423」を4進数で表現すると、

になります。
これを、最後の除算結果「1」と、あまりの値を、下から順に並べると、

「1」「2」「2」「1」「3」で、「12213」という値が、4進法における「423」ということになります。

逆算の場合も同じことです。
あんまり身近な例えがないので、4進法の位を左の桁から「ロクヨン」「イチロク」「ヨン」「イチ」としましょう。

4進法の世界の「3101」は、

つまり重要なのは「位」の概念

‌10進法の世界だって、

「いち（一）のくらい」
「じゅう（十）のくらい」
「ひゃく（百）のくらい」
・・・
「ちょう（兆）のくらい」

って、覚えましたよね。

そういえば、お金（貨幣や紙幣）ってそうなってます。

100円玉が10枚あったら、1000円札にしたいし、千円札が10枚あれば一万円札にしたい。そして、10000万円札には100円玉が100枚、あるいは10円玉が1,000枚含まれていることは、イメージできると思います。

10進法から2進法の解法（すだれ算）

というとは、2進法も同じことで、

「一の位」
「2の位」
「2×2の位」（なんで×かというと、10円玉が10枚あるから100円＝100の位と同じこと）
「2×2×2の位」
「2×2×2×2の位」

え？もう「位」があがるの？
っていうぐらい、すぐに位があがります。なにせ「二進法」ですから。
今日一年生なら明日は二年生です。（ちょっと違うけど）

という具合に、2進法における「位」が上がるごとに「2のべき乗」（位が進むたびに掛ける回数がひとつずつ増えていきます）になっていることがわかります。

これを、計算する方法として「すだれ算」なる手法が存在します。

たとえば、10進法の世界の「86405」は、2進法だとこうなります。

2進法から10進法への変換

逆の方法は、位ごとに「なんの位」になっているか？ということを考えれば計算可能です。

「1011101」

という2進法の数字がある場合、

1：64の位が「1」なので、「64」
0：32の位が「0」なので、「0」
1：16の位が「1」なので、「16」
1：8の位が「1」なので、「8」
1：4の位が「1」なので、「4」
0：2の位が「0」なので、「0」
1：1の位が「1」なので、「1」

これを全部足すと、「64+0+16+8+4+0+1=93」となります。

どうでしょう？スッキリと理解できたでしょうか？

結論

2進法は「慣れてないから日常で使いこなすのは難しい」けど、「10進法から2進法」に変換する方法は割と簡単。逆に2進法の数値を10進法にするのも、算数レベルの考え方で算出可能です。
ちょっとググってみれば、解法自体はすぐいろんなサイトがヒットします。

ちなみに今の時代はAIがいろいろ答えてくれる時代。
ChatGPTなら解法まで解説付きです。

ま、検算にはこちらのサイトのお世話になりました。
https://www.peko-step.com/tool/nsin.html

でも、その解法自体を公式を覚えたり、それを使えるようになるより（そもそもそんな機会まれですし）、考え方を理解するのが素敵なテーマだと思うのです。

中学校の数学の指導要領からは外れてしまったようですが、こういう頭の使い方はとてもよい数学的訓練になると思うのです。

カミさんに何度もダメ出しされながら図解で補ったので、「n進法」の海を公開する羅針盤として、これなら多くの航海士たちの助けとなるでしょう。