実ベクトル空間上の線形写像の核（ゼロ空間）

線形写像の核

定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および終集合上のベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。それに対して、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を満たすようなベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{y}\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。ただし、\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。定義より、逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \)は以下の連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y_{1}=f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
y_{m}=f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}の解からなる集合と一致します。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の「要素」であるようなベクトルです。一方、\(\boldsymbol{f}\)が終集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \)は始集合\(\mathbb{R} ^{n}\)の「部分集合」であることに注意が必要です。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。逆像の定義より、順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)の逆像の要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{x}\)の像が\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が与えられれば、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列が、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定義されるとともに、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =M\left( \boldsymbol{f}\right)
\boldsymbol{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。このような事情を踏まえると、線形写像\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{y}=M\left( \boldsymbol{f}\right) \boldsymbol{x}\right\}
\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}と表現することもできます。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、\(\boldsymbol{f}\)のそれぞれの成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の第\(i\)成分\(y_{i}\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ y_{i}=f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
=\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の成分\(y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。以上の事実を利用すれば、線形写像による点の逆像を求める作業を、成分関数による点の逆像を求める作業へ帰着させることができます。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は実ベクトル空間であるため、ゼロベクトルを要素として持ちます。したがって、\(\boldsymbol{f}\)によるゼロベクトル\(\boldsymbol{0}_{m}\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像をとることができます。これを\(\boldsymbol{f}\)の核（kernel）やゼロ空間（null space）などと呼び、\begin{eqnarray*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}_{m}\right\} \quad \because \text{核の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ M\left( \boldsymbol{f}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{m}\right\} \quad \because \text{標準行列を用いた逆像の表現} \\
&=&\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( 0\right) \quad \because \text{成分関数を用いた逆像の表現}
\end{eqnarray*}で表記します。定義より、核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)は以下の連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) =0 \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right) =0\end{array}\right.
\end{equation*}の解からなる集合と一致します。明らかに、\begin{equation*}
\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

線形写像の核は標準行列の列の線型結合がゼロベクトルになるようなスカラーの組からなる集合

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right)\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ M\left( \boldsymbol{f}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{m}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を列を明示する形で表記すると、\begin{equation}M\left( \boldsymbol{f}\right) =\left( \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right)
,n\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in \ker \left( \boldsymbol{f}\right) &\Leftrightarrow
&M\left( \boldsymbol{f}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{m}\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right)
,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right)
\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\boldsymbol{0}_{m}\quad \because \left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &x_{1}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right)
,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right)
,1\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \ker \left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow x_{1}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) =\boldsymbol{0}_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。

以上より、列ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が線形写像\(\boldsymbol{f}\)の核の要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の列ベクトルどうしのスカラー\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)のもとでの線型結合がゼロベクトルになることは必要十分であることが明らかになりました。したがって、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の核を、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x_{1}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right)
+\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) =\boldsymbol{0}_{m}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の核とは、\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の列ベクトルどうしの線型ベクトルがゼロベクトルになるようなスカラーを成分とするベクトルからなる集合です。

線形写像の核は標準行列の行空間の直交補空間

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right)\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ M\left( \boldsymbol{f}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{m}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を行を明示する形で表記すると、\begin{equation}M\left( \boldsymbol{f}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,m\right)
\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため、列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in \ker \left( \boldsymbol{f}\right) &\Leftrightarrow
&M\left( \boldsymbol{f}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{m}\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,m\right)
\end{array}\right) \boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) \cdot \boldsymbol{x}
\\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,m\right) \cdot \boldsymbol{x}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\mathrm{row}\left(
M\left( \boldsymbol{f}\right) ,i\right) \cdot \boldsymbol{x}=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \ker \left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \forall
i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,i\right) \cdot \boldsymbol{x}=0
\end{equation*}が成り立ちます。

以上より、列ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が線形写像\(\boldsymbol{f}\)の核の要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)のすべての行ベクトルが\(\boldsymbol{x}\)と直交することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の核を、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\mathrm{row}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) ,m\right) \cdot \boldsymbol{x}=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の核とは、\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)のすべての行ベクトル直交するベクトルからなる集合です。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)が与えられたとき、\(X\)の直交補空間とは、\(X\)上に存在するすべてのベクトルと直交するベクトルからなる集合\begin{equation*}X^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in X:n\cdot \boldsymbol{x}=0\right\}
\end{equation*}として定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。さらに、部分空間\(X\)の直交補空間\(X^{\perp }\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になることが保証されます。

線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の行空間とは\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の行ベクトルどうしの線型結合をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*}\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) =\mathrm{span}\left(
\left\{ \mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,m\right) \right\} \right)
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の部分空間であるため、その直交補空間\begin{equation*}\left( \mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) \right)
^{\perp }=\left\{ \boldsymbol{n}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) :\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{x}=0\right\}
\end{equation*}をとることができます。先の命題を用いると、これが\(\boldsymbol{f}\)の核と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left( \mathrm{row}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right) \right) ^{\perp }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。線形写像の核は標準行列の行空間の直交補空間と一致するということです。

線形写像の核は定義域の部分空間

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核は\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間の直交補空間と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left( \mathrm{row}\left( M\left(
\boldsymbol{f}\right) \right) \right) ^{\perp }
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。一般に、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)部分空間\(X\)の直交補空間\(X^{\perp }\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間である行空間\(\mathrm{row}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) \)の直交補空間と一致する\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になります。

線形写像による部分空間の逆像は部分空間

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に加えて\(\boldsymbol{f}\)の終集合の部分集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間である場合、線形写像\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left(Y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間に戻すということです。

線形写像によるアフィン部分空間の逆像はアフィン部分空間

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に加えて\(\boldsymbol{f}\)の終集合の部分集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)のアフィン部分空間である場合、線形写像\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間になることが保証されます。線形写像はアフィン部分空間をアフィン部分空間に戻すということです。

演習問題