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正多面体と展開図
- 2. 今日学ぶこと • 正多面体とは何か? • 正多面体は5種類しかない • 正多面体の展開図
- 3. 正多面体とは? 以下の条件を満たす多面体 1. 全ての面が合同な正多角形 2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい 3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分 も多面体に含まれる. もし, 条件1が無いと? ⇒ 平行六面体
- 4. 正多面体とは? 以下の条件を満たす多面体 1. 全ての面が合同な正多角形 2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい 3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分 も多面体に含まれる. もし, 条件2が無いと? ⇒ 正四面体を繋げた多面体
- 5. 正多面体とは? 以下の条件を満たす多面体 1. 全ての面が合同な正多角形 2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい 3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分 も多面体に含まれる.
- 7. 正多面体は5種類しかない 多面体 面の形 面数 辺数 頂点数 正四面体 正三角形 立方体 正方形 正八面体 正三角形 正十二面体 正五角形 正二十面体 正三角形 問題: 条件3を満たさない多面体にはどんなものがあるだろうか?
- 8. 正多面体は5種類しかない 多面体 面の形 面数 F 辺数 E 頂点数 V F‐E+V 正四面体 正三角形 4 6 4 2 立方体 正方形 6 12 8 2 正八面体 正三角形 8 12 6 2 正十二面体 正五角形 12 30 20 2 正二十面体 正三角形 20 30 12 2
- 9. 正多面体は5種類しかない(証明) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」 • ポリドロンで試してみよう • 正三角形では? • 正方形では? • 正五角形では? • 正六角形では? • …
- 10. 正多面体は5種類しかない(証明) (*) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」 M : 正多角形の頂点数 (M>= 3) N : 頂点に集まる辺(面の数) (N>=3) • 正M角形の一つの内角 180(M‐2)/M • 一つの頂点に集まる角度 180(M‐2)*N/M • (*)より 180(M‐2)*N/M < 360 • これを展開すると, (M‐2)*N < 2M • 整理すると, (M‐2)(N‐2) < 4
- 11. 正多面体は5種類しかない(証明) (*) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」 M : 正多角形の頂点数 (M>= 3) N : 頂点に集まる辺(面の数) (N>=3) … • 整理すると, (M‐2)(N‐2) < 4 • これを満たす(M,N)は? ⇒ (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3) ⇒ 正四面体, 正八面体, 正二十面体, 立方体, 正十二面体
- 12. 正多面体の展開図 • 展開図は何種類あるか? • 正四面体 2種類 • 立方体 11種類 • 正八面体 11種類 • 正12面体 43380種類 • 正20面体 43380種類 実際に立方体、正八面体の展開図を作ってみよう
- 17. 多面体(の展開図)を作ってみよう 例えば • 条件3だけを満たさない正多面体もどきは? • 凸でない多面体で、条件1,2は満たす • 切頂20面体を辺展開した時に、面が重なるものは? • サッカーボールの形, 正20面体の頂点を切った形 • 展開図の直径が最大の展開図 • 直径とは, 展開図の2点を結ぶ最大の長さ • 展開図の幅が最小の展開図 • 幅とは, 展開図を挟む2直線の距離 • 展開図を含む長方形の面積が最小の展開図