正十二面体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/04/17 15:43 UTC 版)
正十二面体の作り方
- 正十二面体を内接立方体から構成する方法がユークリッドの『原論』第13巻に記されている。一松信はこれを「立方体に屋根をかける」方法と呼んでいる。[1]
- これとは逆に、正十二面体を外接立方体から立方体の12の稜を一様に切稜して作る方法が、『多面体木工(増補版)』(佐藤郁郎・中川宏)によって示された。[2]それは、正十二面体の投影図(辺心図)が、直交する3方向に現れることに基づいている。投影図は100ミリの立方体から切り取る部分の寸法を示しているが、これは黄金比にあたる。切り取る三角形の赤丸の角度が切稜の角度になる。約31.7度である。
立方体から正十二面体を作る様子
発泡スチロールカッターを使って立方体から正十二面体を作る様子を示す。
X軸まわりの切稜 |
Y軸まわりの切稜 |
Z軸まわりの切稜 |
立方体切稜による正十二面体の完成 |
正十二面体の証明
『ユークリッド原論』第13巻の定理17においては、立方体の一辺を対角線の一つとする五角形のひさしをかけることによって、この五角形が等辺にして一平面上にありかつ等角であることが証明されている[3]。
図に示したように、『ユークリッド原論』第13巻の定理17の説明[3]にあるギリシア文字をラテン文字に変更して述べると以下のようになる。
先に述べた立方体の互いに垂直な二つの面 ABCD、CBEF が定められ、辺 AB,BC,CD,DA,EF,EB,FC のおのおのが G,H,K,L,M,N,O において2等分され,GK HL,MH,NO が結ばれ,NP,PG,HQ のおのおのが点 R,S,T において外中比に分けられ,RP,PS,TQ がそれらの大きい部分とされ,点 R,S,T から立方体の面に垂直に立方体の外側の方向に RU,SV,TW が立てられ,RP,PS,TQ に等しくされ,UB,BW,WC,CV,VU が結ばれたとせよ。五角形 EBWCV は等辺にして一平面上にありかつ等角であると主張する。 — 『ユークリッド原論』第13巻の定理17[5]
星型
小星型十二面体 B |
大十二面体 C |
大星型十二面体 D |
- ^ 正多面体を解く. 東海大学出版会. (2002/5/20)
- ^ 多面体木工. 特定非営利活動法人 科学協力学際センター. (2006/8/1)
- ^ a b ハイベア & メンゲ (1971, pp. 429–432).
- ^ ハイベア & メンゲ (1971, p. 429).
- ^ ハイベア & メンゲ (1971, pp. 429f.).
- ^ 高田貫太『アクセサリーの考古学』吉川弘文館、2021年5月1日。
- 1 正十二面体とは
- 2 正十二面体の概要
- 3 正十二面体の作り方
- 4 この図形を枠に持つ立体
正十二面体と同じ種類の言葉
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